Second Half

Updated 4 Oct 2026

Partial Derivatives

การจะหา Directional Derivative ได้ ต้องหาจาก Vector 1 หน่วย
- ดังนั้น ต้องเช็คก่อนว่า $||\vec{u}||=1$ มั้ย? — ถ้าไม่ใช่ก็ทำให้เป็น 1 หน่วย (หารด้วย Norm)
- สมมติให้ $\vec{v}=\frac{\vec{u}}{||\vec{u}||}$ แล้ว
→ Directional derivative of $f$ in direction of $\vec{u}$ $=D_{\vec{v}}f=\nabla f\cdot v$

นอกจากนี้ $\nabla f$ $\nabla f$ ที่ได้ออกมาเป็น Vector แล้วเนี่ย ยังหมายถ
- $||\nabla f (x_0,y_0)||$ — Max Rate of Change $D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)$
- $-||\nabla f (x_0,y_0)||$ — Min Rate of Change $D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)$

Plane Equation

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
- โดยที่ $A,B,C$ ตรงนี้คือ Normal Vector ของ Plane (ก็คือตั้งฉากกับ Plane นั่นเอง) — ดังนั้น Tangent Plane คือ Plane ที่สัมผัสไปกับระนาบของพื้นผิวต่าง ๆ
- Normal Vector ตรงนี้ ถ้าเป็นพื้นผิวทั่วไปก็หาจาก $\nabla F(x,y,z)$
- อย่าลืมแปลงสมการ $F(x,y,z)=f(x,y)-z$
Parametric Equation of Line

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$

ใช้ $\frac{\partial f}{\partial x}=0$ และ $\frac{\partial f}{\partial y}=0$ แก้สมการหา $(x,y)$
จะหาค่า $z$ ก็ได้ว่าเป็นเท่าไหร่ (ค่าขีดสุดสัมพัทธ์) แทน $(x,y)$ ลงในสมการ
Check ว่า $(x_c,y_c)$ $(x_{c}, y_{c})$ เป็น max, min หรือ saddle point?
1. หา $D$ จาก $D=f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}$
2. $D<0;$ Saddle Point, $D>0$ ไปต่อ
3. เช็ค $f_{xx}>0;$ min; $f_{xx}<0;$ max — ใช้หลักการหน้ายิ้มบึ้งได้จ้า

Maximize or minimize the function $f(x,y,z)$ subject to the constraint $g(x,y,z)=0$

$\begin{cases} \nabla f&=\lambda\nabla g \\ g(x,y,z) &=c \end{cases}$

$\begin{cases} f_x&=\lambda g_x \\ f_y&=\lambda g_y \\ g(x,y,z) &=c \end{cases}$

แล้วก็แก้สมการ 3 ตัวแปร (มีตัวที่เราไม่ทราบอยู่ 3 ตัว) → $(x,y)$ $(x, y)$ จุดนั้นก็คือ Extrema point แล้ว
- ถ้าเป็นจุดเดียวก็สุ่มตัวอื่น ๆ มา ที่มันเข้าข่าย Constraint แล้วเช็ค
- ถ้าสองจุดก็คงมีอันนึง Max, min ก็ทดสอบเอา หาค่า $z$

$\int\int$

Divergent (ผลลัพท์จะออกมาเป็น Scalar)

$\ce{div}(\vec{A})=\vec{\nabla}\cdot\vec{A}$
Curl (ผลลัพท์จะออกมาเป็น Vector)

$\ce{curl}(\vec{A})=\vec{\nabla}\times\vec{A}$

Integral ตามเส้นของฟังก์ชัน ค่าจริง

$\int f(\vec{r}(t)) \ ||\vec{r}'(t) || \ dt$
Integral ตามเส้นของฟังก์ชัน ค่า Vector
1. เส้นโค้ง $C$ กำหนดด้วย Vector $\vec{r}(t)$
  
  $\int \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) \ dt$
2. เส้นโค้ง $C$ กำหนดด้วย $y=f(x)$ ให้เปลี่ยนเป็น $d\vec{r}=\langle dx,dy\rangle$
  
  $\int \langle F_x,F_y\rangle \cdot \langle dx,dy\rangle$
3. เมื่อ $\vec{F}$ เป็นฟังก์ชัน Gradient ของ Scalar ฟังก์ชัน $\phi$ [Fundamental Theorem of Line Integrals]
  1. ต้องเช็คก่อนว่า $\vec{F}$ เป็นฟังก์ชัน Gradient (CONSERVATIVE) โดยการ $\vec{\nabla}\times\vec{F}=0$
  2. ถ้าใช่ก็หา $\phi$ จาก $\vec{F}$
  $\int\vec{F}\cdot d\vec{r}=\phi(\vec{r}(t_2))-\phi(\vec{r}(t_1))$

$\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d A$

$\color{grey}{\oint_C M d x+N d y=\iint_D\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) d A}$

$\boxed{\iint f(x,y,z) dS=\iint f \big(x,y,g(x,y)\big)\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}\ dA}$