Lines in 2D

General equation

General equation of a line in 2D is given by $ax+by+c=0$
- ถ้าเจอให้สมการแบบนี้มาแล้วให้เปลี่ยนเป็น Parametric → จัด $y=$ ก่อน แล้วจัดซักตัวเป็น $t$

y-y_0=m(x-x_0)
$$
- ต้องรู้ จุดที่ผ่าน $(x_0,y_0)$ และ Slope ( $m$ )

\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{P}

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}

\begin{aligned} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{aligned}

Ax+By+Cz+D=0

โดย $A,B,C,D$ $A, B, C, D$ สามารถ หาได้จาก ถ้าเรารู้ Three points in space $A = \begin{vmatrix} 1 & y_1 & z_1 \\ 1 & y_2 & z_2 \\ 1 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}, \quad B = \begin{vmatrix} x_1 & 1 & z_1 \\ x_2 & 1 & z_2 \\ x_3 & 1 & z_3 \end{vmatrix}, \quad C = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}, \quad D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}$
- แทนด้วย 1 ตามนี้เลย
Normal Vector คือ $\vec{N}=\left\langle A,B,C\right\rangle$ $N = ⟨ A, B, C ⟩$
- แล้วก็มี Unit Normal Vector ด้วย— ก็แค่เอาไปหารด้วย Norm
Plane 1 และ Plane 2 จะ Parallel ก็ต่อเมื่อ $N_1=N_2$ หรือ $N_1=-N_2$ จะดูจาก Unit Normal Vector ก็ได้ หรือว่ามองว่ามันคูณด้วยอะไรเพื่อได้อีกตัวรึเปล่า

A line in 3D can be defined as an intersection of 2 non-parallel planes

ก็ถูกต้องใช่มั้ย 2 Planes ตัดกัน ทำให้เกิดเป็นเส้นตรง

$A_1x+B_1y+C_1z-D_1=0$ $A_2x+B_2y+C_2z-D_2=0$
ส่วน Parametric ก็คล้าย ๆ 2D แค่เพิ่มมาอีกตัวแปรไงง
$\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{P}$

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} a \\ b \\ c\end{bmatrix}

Intersecting planes $N_1 \ne \pm N_2$ (ถ้าเท่ากัน มันก็ขนานดิ)
Parallel planes $N_1=\pm N_2$ (นี่ไง เท่ากันคือขนาน) → แต่อันนี้ต้องดู $D$ ด้วย ต้องต่างกัน
Equal planes $N_1=\pm N_2$ (อันนี้ $D$ เท่ากัน มันก็คือ Plane เดียวกันไงง)
Perpendicular planes (Dot product ของ $N_1$ และ $N_2$ ต้องเท่ากับ 0)

เวลาเปรียบเทียบ เปรียบ Normal Vector of the plane VS Direction Vector of a line ( $a$ )

Line intersects the plane (Dot product ของ $a$ และ $N$ ต้องไม่เท่ากับ $0$ )
The line is perpendicular to the plane ( $a$ = $N$ ) จะเช็คโดยการแปลงให้เป็น Unit vector ก่อนก็ได้ หรือว่าจะดูว่าเป็น Scalar คูณรึเปล่า
The line is parallel to the plane (Dot product ของ $a$ และ $N$ ต้องเท่ากับ $0$ )
The line is lies in the plane (Dot product ของ $a$ $a$ และ $N$ $N$ ต้องเท่ากับ $0$ $0$ )
- To confirm that the line lies in the plane, substitute a point from the line into the plane's equation. If the point satisfies the equation, the line lies in the plane; otherwise, it's merely parallel to it.

Parallel lines $a_1=\pm a_2$ $a_{1} = \pm a_{2}$
- $a_1=\pm a_2$ , but a point on one line does not satisfy the equation of the other.
Coinciding line $a_1=\pm a_2$ $a_{1} = \pm a_{2}$ เหมือนกันแต่
- $a_1=\pm a_2$ , and a point on one line also satisfies the equation of the other line.
Skew, and intersecting lines, $a_1 \ne \pm a_2$ $a_{1} \neq = \pm a_{2}$
- Skew: Direction vectors are not scalar multiples, and the lines do not intersect (no solution to the system of equations).
- Intersection: Direction vectors are not scalar multiples, but there exists a point where both lines meet (the system of equations has a solution).