• Complete Response = Natural Response + Forced Response
  • หรือว่า Complete Response = Transient Response + Steady State Response
• The Natural Response is the general solution of the differential equation representing the first-order circuit, when the input is set to zero
• The Forced Response is a particular solution of the differential equation representing the circuit
• รูปแบบคำตอบมันเหมือนเดิมตลอด ดังนั้นสามารถจำรูปแบบคำตอบไปได้เลย

Initial Conditions of Switched Circuits

1. All of the circuit inputs, that is, the independent voltage source voltages and independent current sources current, are constant functions of time.

2. The circuit includes one or more switches that open or close at time $t_0$

   • Time immediately before the switch → $t_0^-$
   • Time immediately after the switch → $t_0^+$

3. Consider these three condition

   1. At initially, $t_0^-$, switch doesn’t change for some time.
   2. At initial, $t_0^+$, switch doesn’t change for some time.
   3. At final condition, $t\to\infty$, switch doesn’t change for some time

   (1, 2) ก็คือเปลี่ยนแปลงเลยทันทีไม่ได้

Open switches act like open circuits, closed switches act like short circuits

Characteristics of Energy Storage Elements

The Source-Free RL and RC circuits

• ก็คือทั้งวงจรมีอยู่แค่นี้นะ— Source-Free ก็คือไม่มีแหล่งจ่ายอะไรเลย
  • คือไม่สามารถมี Independent Source ได้ แต่จริง ๆ ก็สามารถมี Dependent ได้นะ!

RC Circuit

• เอาจริง Source-Free เอาจริง มันก็ต้องมี Source มาก่อนนะ เอามา Charge C ไม่งั้นมันจะไปเอาพลังงานมาจากไหน
  

• Since the capacitor is initially charged, we can assume that at time $t=0$, the initial voltage is

  $$v(t)=V_0$$
  • The energy stored $w_c(0)=\frac{1}{2}CV_0^2$
  • Applying KCL: $i_c+i_R=0$
  • But $i_C=C\frac{dv}{dt}$ and $i_R=\frac{v}{R}$
  $$C\frac{dv}{dt}+\frac{v}{R}=0$$ $$\frac{dv}{dt}+\frac{v}{RC}=0$$ $$\frac{dv}{dt}=-\frac{v}{RC}$$ $$\int\frac{dv}{v}=-\int\frac{1}{RC}dt$$ $$\ln v=-\frac{t}{RC}+\ln A$$ $$\ln \frac{v}{A}=-\frac{t}{RC}$$ $$v(t)=Ae^{-\frac{t}{RC}}$$

• From initial conditions, $v(0)=V_0=A$

• Hence,

  $$\Huge\boxed{V(t)=V_0e^{-\frac{t}{RC}}}$$

• Since the response is due to the initial energy stored and the physical characteristics of the circuit and not due to some external voltage or current source, ==it is called the natural response of the circuit.==

  The natural response depends on the nature of the circuit alone with no external sources

• แต่ไม่ได้เหมือน Transient 100% นะ → Transient คือจะมี Source ก็ได้ แค่ temporary (เกิดขึ้นแปปเดียว)

Time Constant

• The time constant ($\tau$) of a circuit is the time required for the response to decay to a factor of $\frac{1}{e}$ or 36.8% of its initial value.

• It is evident from the table that voltage $v(t)$ is less than 1% of after $5\tau$ (five time constants).
• At any rate, whether the time constant is small or large, the circuit reaches steady state in five time constants
  • ก็คือจุดสิ้นสุด Transient Response ละ

• A circuit with a small time constant gives a fast response in that it reaches the steady state quickly due to quick dissipation of energy stored
  • Whereas a circuit with a large time constant gives a slow response because it takes longer to reach steady state.

$\tau$ ยิ่งน้อยก็ยิ่งถึง Steady state เร็ววว!

The Key

• Tips:
  • When a circuit contains a single capacitor and several resistors and dependent sources, the Thevenin’s Theorem can be found at the terminals of the capacitor to form a simple RC circuit.
  • Also, once can use Thevenin’s Theorem when several capacitors can be combined to form a single equivalent capacitor (ยุบรวม C, R ก่อน)

Example

RL Circuit

• At $t=0$, we assume that the inductor has an initial current $I_0$ or $i(0)=I_0$

• The energy stored $w_L(0)=\frac{1}{2}LI_0^2$

• Applying KVL:
  $V_L+V_R=0$

  • But $v_L=L\frac{di}{dt}$ and $v_R=iR$ $$L\frac{di}{dt}+iR=0$$ $$\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=0$$ $$\int_{I_0}^{i(t)}\frac{di}{i}=-\int_0^t\frac{R}{L}dt$$ $$\ln i(t)-\ln I_0=-\frac{Rt}{L}$$ $$\ln \frac{i(t)}{I_0}=-\frac{R}{L}t$$
  $$\Huge\boxed{I(t)=I_0e^{-\frac{R}{L}t}}$$

Time Constant

• The time constant for the RL circuit is $$\Huge\boxed{\tau=\frac{L}{R}}$$
• Thus, $$\Huge\boxed{I(t)=I_0e^{-\frac{t}{\tau}}}$$

Example

Step Response RL and RC circuits

• The step response of a circuit is its behavior when the excitation is the step function, which may be a voltage or a current source.

• สองรูปด้านบนคือวงจรเดียวกันเลย
  • (a) เขียนให้เห็นอยู่ในรูปของ Switch
  • (b) ไม่มี Switch แต่เป็น Function Step Reponse (Unit Step เหมือนเป็นตัวแทนของ Switch) อยู่ที่แหล่งจ่าย

• รูป Graph ด้านบน สอดคล้องกับวงจรเลยนะ แล้วก็ Make sense มากกก เริ่มต้น C มี V อยู่แล้วค่านึง แล้วพอเอา Switch ลงมันก็เหมือน Short Circuit ยังไงสุดท้าย ก็ต้องมีค่าเท่า $V_s$ ใช่ป้ะ
  • Graph นี้เรียกว่า Step Response → แล้วเราจะเขียนสมการออกมายังไง?

• อันนี้ก็ Make sense เหมือนกันของ RL— เริ่มต้นด้วย $I_0$ ค่าเดิมอยู่ก่อน เสร็จแล้วพอสับ Switch ลง ก็ต้อง ในท้ายที่สุดกลายเป็น $I$ ใหม่ที่เท่ากับแหล่งจ่ายคือ $\frac{V_s}{R}$ ไงงงง
  • Graph นี้เรียกว่า Step Response → แล้วเราจะเขียนสมการออกมายังไง?

• แล้วเราจะหาคำตอบของสมการที่เราอยากรู้ได้ยังไง? มาเรียนกันมี 3 รูปแบบนะ!

  $$\boxed{\text{Complete Response} = \text{Natural Response} + \text{Forced Response}}$$ $$\boxed{\text{Complete Response} = \text{Transient Response} + \text{Steady State Response}}$$ $$\boxed{\text{Instantaneous Value} = \text{Final} + [\text{Initial}-\text{Final}]e^{-\frac{t}{\tau}}}$$
  • ทั้งหมดคือคำตอบเดียวกันหมด อยู่ที่ว่าจะแบ่งพจน์ยังไง! (แต่อันที่ 3 คือนิยมมากที่สุด)

• สมการด้านบนวิธีใช้คือ สามารถเปลี่ยน $x$ เป็น $V$ (RC) หรือ $I$ (RL) ได้ เช่น

โดย $\tau$ แต่ละตัวก็ต่างกันออกไปขึ้นอยู่กับว่า RC หรือว่า RL

• เวลาหา $I$ หรือ $V$ เอาที่คร่อม L,C นะ

• ก่อนหน้านี้คือใช้ Switch ในการทำงานทั้งหมด— ตอนนี้จะมาดูที่เป็น Unit Step บ้างแล้ว

Sources (Singularity Functions)

• Singularity Functions are functions that either are discontinuous or have discontinuous derivatives.
  • มีการเปลี่ยนแปลงทันทีทันใดอย่างไม่ต่อเนื่อง

Unit Step Function

• ก็คือถ้า $u(t-3)$ ก็คือจะสับ Switch ตอน $t=3$ ดูง่าย ๆ เลยนะ