notes.npwitknpwitk.com ↗

Lecture 7 - Projections, Cross Product

Updated 4 Oct 2026

Review: Lecture 4, Lecture 5

Projections in 2D & 3D



จากรูป AB→=u⃗\overrightarrow{AB}=\vec{u} และ AC→=v⃗​\overrightarrow{AC}=\vec{v}​

AD→=(u⃗⋅v⃗)v⃗∣v⃗∣2=Projv⃗u⃗\overrightarrow{AD}=(\vec{u}\cdot\vec{v})\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=\text{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}

เรียก AD→\overrightarrow{AD} ว่า Projection Vector ของ u⃗\vec{u} บน v⃗​\vec{v}​

Distance Between A Point and A Line

Formula

d=∣\ceAx1+\ceBy1+\ceC∣\ceA2+\ceB2d=\frac{|\ce{A}x_1+\ce{B}y_1+\ce{C}|}{\sqrt{\ce{A}^2+\ce{B}^2}}

Basic

2D

  • ถ้าให้สมการเส้นตรงมาเป็น Parametric Equation ก็ต้องแปลงกลับให้เป็น General Form (2D) ก่อนนะ
    • โดยการ Yield tt — จัดเป็น 2 สมการแล้วตัด tt ออกไปให้เหลือ x,yx,y แค่นั้น!
  • อาจจะมีให้หา Intersection Point จาก Line ที่ Perpendicular กับเส้นนั้น (แล้วผ่านจุด PP) ด้วย
    • จะหาง่าย ๆ แบบสร้างสมการที่ 2 ขึ้นมา แล้วหา mm ที่คูณกันแล้ว = -1 ก็ได้ หรือ
    • แบบ Makhanov ที่หา Normal Vector จาก Vector ของเส้นตรงที่ 1 (Dot กันได้ 0) — ดังนั้นตอนนี้เราจะได้ Vector 2 ตัวที่ตั้งฉากกัน → ได้ Parametric Equation ของเส้น 2 (เพราะเรารู้จุดผ่านของ l2l_2 ด้วยไง)
      • พอมี 2 Lines ที่เป็น Parametric Equations แล้วใช้ Gauss Elimination โดยการย้ายตัวแปรให้อยู่ด้วยกัน ตัวเลขย้ายไปอีกข้างอยู่ด้วยกัน

📄 GTS210 - Lecture 7.pdf

3D

  • แต่ถ้าเป็น 3D, Parametric Equation มันเปลี่ยนเป็น Normal Form ไม่ได้ใช่มั้ย ทำตามนี้
    • สามารถใช้ได้ทั้งวิธีปกติ กับมองให้เป็น Projection ก็ได้!

📄 GTS210 - Lecture 8.pdf

Distance Between A Point and A Plane

Formula

The distance dd between a point P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0) and the plane

d=∣\ceAx0+\ceBy0+\ceCz0+\ceD∣\ceA2+\ceB2+\ceC2d=\frac{|\ce{A}x_0+\ce{B}y_0+\ce{C}z_0+\ce{D}|}{\sqrt{\ce{A}^2+\ce{B}^2+\ce{C}^2}}
  • ไม่ต้องนั่งเขียนพิสูจน์ยาว ๆ แค่ใช้สูตรเลย!!!
  • แต่ถ้าเค้าให้หา Intersection Point ก็ทำตามนี้

📄 GTS210 - Lecture 9.pdf

Cross Product

  • Exists in R3\mathbb{R}^3 only!
  • Produce a vector
    u⃗=[a1a2a3],v⃗=[b1b2b3]\vec{u}=\left[\begin{array}{l}a_1 \\a_2 \\a_3\end{array}\right], \vec{v}=\left[\begin{array}{l}b_1 \\b_2 \\b_3\end{array}\right]
    u⃗×v⃗=[i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3]=[+M11−M12+M13]=[+(a2b3−b2a3)−(a1b3−b1a3)+(a1b2−b1a2)]\vec{u} \times \vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\a_1 & a_2 & a_3 \\b_1 & b_2 & b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}+{M}_{11} \\-{M}_{12} \\+{M}_{13}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}+\left({a}_2 {b}_3-{b}_2 {a}_3\right) \\-\left({a}_1 {b}_3-{b}_1 {a}_3\right) \\+\left({a}_1 {b}_2-{b}_1 {a}_2\right)\end{array}\right]

Theorem

  1. w⃗=V1×V2\vec{w}=V_1\times V_2 is orthogonal to both V1V_1 and V2V_2.
  2. V1×V2=0⃗V_1 \times V_2 = \vec{0} if and only if V1∥V2V_1 \parallel V_2
    • อย่าไปสับสนกับ Dot Product ที่ u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v} แล้ว Dot กันได้ 0
  3. ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣sin⁡θ{|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\sin\theta}
    • Also เป็นพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
พื้นที่ △=12พื้นที่ □ ด้านขนาน=12∣u⃗∣⋅∣v⃗∣sin⁡θ=12∣u⃗×v⃗∣\begin{aligned}\text{พื้นที่ } \triangle & =\frac{1}{2} \text{พื้นที่ } \square \text{ ด้านขนาน} \\& =\frac{1}{2}|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \sin \theta\\&=\frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \end{aligned}

Skew Lines Distance


A → B สามารถเขียนเป็น AB⃗\vec{AB} ได้นะ

  • ก่อนอื่นก็ต้องพิสูจน์ก่อนกว่า l1l_1 กับ l2l_2 เป็น Skew Lines จริง ๆ
    • โดยการหาจุดตัดระหว่างทั้ง l1l_1 และ l2l_2 (จับสองสมการเท่ากัน หรือ l1−l2=0l_1 - l_2 = 0) เมื่อไม่มีคำตอบ (No Solution — ทำจาก GJE) แล้วก็ถือว่าเป็น Skew Lines
    • แต่ต้องระวังว่ามันไม่ Parallel นะ เพราะมันก็จะไม่มีคำตอบเหมือนกัน ก็ดูจาก Direction Vector ว่าเป็น Scalar คูณรึเปล่า
  • แล้วก็หา AB⃗\vec{AB} โดยการเอา Direction Vector ของ l1×l2l_1\times l_2 ก็จะได้ผลลัพธ์เป็น Vector ที่ตั้งฉากกับทั้งคู่
  • จะหา Distance ให้ตั้งสูตร l1−l2=λnl_1 - l_2 = \lambda n โดย Distance จะคือพจน์ ∣∣λn∣∣||\lambda n ||
    • พอได้ค่า tt และค่า ss มาแล้ว ก็ Substitute เข้า l1l_1 และ l2l_2 ตามลำดับ จะได้ออกมาเป็นจุด AA และ BB
      • พอได้ AA และ BB มาแล้ว ก็หา Distance Between Points อีกก็ได้ ว่ามันถูกต้องตามความยาว Skew Line รึเปล่า!

Formula

  • จริง ๆ แล้วก็มีสูตรเลย แต่สูตรนั้นไม่ได้ให้ Coordinate ของ AA และ BB d(l1,l2)=∣(a2−a1),d1×d2∣∣∣d1×d2∣∣d(l_1,l_2)=\frac{|(a_2-a_1),d_1\times d_2|}{||d_1\times d_2||}

Linked from