notes.npwitknpwitk.com ↗

Lecture 12 - Eigenvalues and Eigenvectors

Updated 4 Oct 2026

  • เคยเป็น Lecture 13 ของรุ่นพี่ ๆ มาก่อน (ก่อนหน้านี้มีเรียน 08 Complex Number ด้วย แต่ปีเราไม่มีเรียน! เวลาไม่ทัน อาจารย์ป่วยบ่อยเกิน)

Eigenvalues & Eigenvectors

Ax⃗=λx⃗\huge{A\vec{x}=\lambda\vec{x}}
  • Matrix AA คูณกับ x⃗\vec{x} (ซึ่งเดี๋ยวจะเรียกตัวนี้ว่า Eigenvector) ดันทะลึ่งไปมีค่าเท่ากับ λ\lambda (จะถูกเรียกว่า Eigenvalues ซึ่งเป็นตัวเลข Scalar ธรรมดาเนี่ยนะ) ซึ่งคูณอยู่กับ x⃗\vec{x} นั่นแหละ
  • มีกฎอยู่ว่า x⃗\vec{x} ต้องเป็น Non-zero vector ด้วยนะ

Example

A=[1652];x⃗=[11];λ=7A=\begin{bmatrix} 1 & 6\\ 5 & 2 \end{bmatrix}; \quad \quad \vec{x}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}; \quad \quad \lambda=7 Ax⃗=λx⃗[1652][11]=7[11][77]=[77]\begin{aligned} A\vec{x}&=\lambda\vec{x} \\ \\ \begin{bmatrix} 1 & 6\\ 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}&=7\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} 7 \\ 7 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 7 \\ 7 \end{bmatrix} \end{aligned}
  • เรียน 7 ว่าเป็น Eigenvalue ของ AA
  • และเรียก [11]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} เป็น Eigenvector ของ λ=7\lambda=7

Characteristic Equation

  • ให้ Matrix AA มา → จะหา Eigenvalue, Eigenvector ได้อย่างไร?
Ax⃗=λx⃗Ax⃗−λx⃗=0⃗(A−λI)x⃗=0⃗\begin{aligned} A\vec{x}&=\lambda\vec{x} \\ A\vec{x}-\lambda\vec{x}&=\vec{0} \\ (A-\lambda I)\vec{x}&=\vec{0} \end{aligned}
  • ถ้าให้ (A−λI)(A-\lambda I) เป็น BB สุดท้ายก็ได้เป็น → Bx⃗=0⃗;B=A−λIB\vec{x}=\vec{0}; B=A-\lambda I กลายเป็น Homogenous System
  • การที่เป็น Homogenous System ก็จะมีคำตอบที่เป็นไปได้ 2 แบบใช่มั้ย: (1) Trivial Solution (Zero Vector), (2) Non-trivial Solution
    • ในที่นี้เราจะพิจารณาแต่ Non-trivial solution นะ— ไม่พิจารณา Trivial solution เพราะอะไร? ย้อนกลับไปกฎที่ว่า x⃗\vec{x} ต้องเป็น Non-zero vector
    • B=A−λIB=A-\lambda I จะต้องมี Free Variable
    • บอกก่อนว่า A−λIA-\lambda I เป็น Square Matrix เสมอนะ แล้วถ้ามี Free Variable มันต้องเป็น Non-invertible matrix (Singular matrix) ใช่มะ ดังนั้น det⁡=0\det=0 (03 Determinants)
    ∴ det⁡(A−λI)=0\huge{\therefore \text{ }\det(A-\lambda I)=0}
    • สมการนี้แหละ ที่เรียกว่า Characteristic Equation

ลองหา Eigenvalues & Eigenvectors

Example

A=[1652]A=\begin{bmatrix} 1 & 6\\ 5 & 2 \end{bmatrix} det⁡(A−λI)=0det⁡([1652]−λ[1001])=0det⁡([1−λ652−λ])=0(1−λ)(2−λ)−(5)(6)=02−λ−2λ+λ2−30=0λ2−3λ−28=0(λ−7)(λ+4)=0λ=−4,7 (Eigenvalues)\begin{aligned} \det(A-\lambda I)&=0 \\ \\ \det \left( \begin{bmatrix} 1 & 6\\ 5 & 2 \end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right)&=0 \\ \\ \det \left( \begin{bmatrix} 1-\lambda & 6\\ 5 & 2-\lambda \end{bmatrix}\right)&=0 \\ \\ (1-\lambda)(2-\lambda)-(5)(6)&=0\\ \\ 2-\lambda-2\lambda+\lambda^2-30&=0 \\ \\ \lambda^2-3\lambda-28&=0 \\ \\ (\lambda-7)(\lambda+4)&=0 \\\\ \lambda&=-4,7 \textit{ (Eigenvalues)} \end{aligned}
  • แบบนี้คือมี Eigenvalues ทั้งหมด 2 ค่า คือ λ=−4,7\lambda=-4,7 นั่นเอง
  • Step ต่อไปก็คือการหา Eigenvector
    • แต่เราต้องหา Eigenvector ของ λ\lambda ทั้งสองค่านะ (เราต้องแยกกันหา)

Eigenvector ของ λ=7\lambda=7

Ax⃗=λx⃗Ax⃗=7x⃗Ax⃗−7x⃗=0⃗(A−7I)x⃗=0⃗([1652]−7[1001])x⃗=0⃗([1652]−[7007])x⃗=0⃗([−665−5])x⃗=0\begin{aligned} A\vec{x}&=\lambda\vec{x} \\ \\ A\vec{x}&=7\vec{x} \\\\ A\vec{x}-7\vec{x} & =\vec{0} \\\\ (A-7 I)\vec{x}&=\vec{0} \\\\ \left(\begin{bmatrix} 1 & 6\\ 5 & 2 \end{bmatrix}-7\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right)\vec{x}&=\vec{0} \\\\ \left(\begin{bmatrix} 1 & 6\\ 5 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 7 & 0\\ 0 & 7 \end{bmatrix}\right)\vec{x}&=\vec{0} \\\\ \left(\begin{bmatrix} -6 & 6\\ 5 & -5 \end{bmatrix}\right)\vec{x}&=0 \end{aligned}
  • แล้วก็แก้สมการธรรมดาด้วย GE/GJE
[−66∣05−5∣0][1−1∣000∣0]\begin{aligned} \begin{bmatrix} -6 & 6 & | & 0 \\ 5 & -5 & | & 0 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}
  • ดังนั้นมองก็รู้แล้วว่า x2x_2 เป็น Free Variable ใช่ป้ะ
x1−x2=0x1=x2x2=x2[x1x2]=[11]x2\begin{aligned} x_1-x_2&=0 \\ \\ x_1&=x_2 \\ x_2&=x_2 \\ \\ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}x_2 \end{aligned}
  • สรุปว่า [11]x2\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}x_2 คือ Eigenvector ของ λ=7\lambda = 7 จะตอบว่า c[11]c \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} แบบนี้ก็ได้ (โดย cc จะเป็นเลขอะไรก็ได้ ไม่เชื่อก็ลองดู)
  • แล้วก็ต้องหา Eigenvector ของ λ=−4\lambda=-4 อีกด้วยนะ แต่ขี้เกียจพิมพ์ละ!

Eigenspace (Eigen subspace)

(A−λI)x⃗=0⃗(A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}

  • เรียก x⃗\vec{x} ว่า Eigenvector ใช่มั้ยล้าาา!

  • Null Space ของ A−λIA-\lambda I คือ Set ที่รวบรวมทุก x⃗\vec{x} ที่ทำให้ (A−λI)x⃗=0⃗(A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0} เป็นจริงเอาไว้ → สิ่งนี้แหละ เรียกเท่ ๆ ว่า Eigenspace ของ A สำหรับ λ\lambda ตัวใดตัวนึง!

โดยสรุป Eigenspace คือ Set ที่รวบรวมทุก Eigenvector ที่สอดคล้องกับ λ\lambda เอาไว้ (ถือว่าเป็น Null Space แบบนึงนั่นแหละ)

Basis ของ Eigenspace

A=[4−162162−18]A=\begin{bmatrix} 4 & -1 & 6\\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & -1&8 \end{bmatrix}
  • อย่างแรกเลยก็คือต้องหา λ\lambda (Eigenvalue) ก่อนใช่ป้ะ (สมมติว่ารู้แล้วว่า λ=9,2\lambda=9,2)

Eigenvector ของ λ=2\lambda =2

Ax⃗=λx⃗Ax⃗=2x⃗Ax⃗−2x⃗=0⃗(A−2I)x⃗=0⃗([4−162162−18]−2[100010001])x⃗=0⃗([4−162162−18]−[200020002])x⃗=0⃗([2−162−162−16])x⃗=0\begin{aligned} A\vec{x}&=\lambda\vec{x} \\ \\ A\vec{x}&=2\vec{x} \\\\ A\vec{x}-2\vec{x} & =\vec{0} \\\\ (A-2 I)\vec{x}&=\vec{0} \\\\ \left(\begin{bmatrix} 4 & -1 & 6\\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & -1&8 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0&1 \end{bmatrix}\right)\vec{x}&=\vec{0} \\\\ \left(\begin{bmatrix} 4 & -1 & 6\\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & -1&8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0& 2 \end{bmatrix}\right)\vec{x}&=\vec{0} \\\\ \left(\begin{bmatrix} 2 & -1 & 6\\ 2 & -1 & 6 \\ 2 & -1&6 \end{bmatrix}\right)\vec{x}&=0 \end{aligned} ∼[1−123∣0000∣0000∣0]\sim\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 3& | & 0 \\ 0 & 0 & 0 &| & 0 \\ 0 & 0 & 0 &| & 0 \end{bmatrix} x1=12x2−3x3[x1x2x3]=[1210]x2+[−301]x3\begin{aligned} x_1&=\frac{1}{2}x_2-3x_3 \\ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\x_3 \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ 1 \\0 \end{bmatrix}x_2 +\begin{bmatrix} -3\\ 0 \\1 \end{bmatrix}x_3 \end{aligned}

ดังนั้น [1210]\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ 1 \\0 \end{bmatrix} และ [−301]\begin{bmatrix} -3\\ 0 \\1 \end{bmatrix} คือ Basis ของ Eigenspace ที่สอดคล้องกับ λ=2\lambda = 2

H=span{[1210],[−301]}H=\text{span}\{\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ 1 \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -3\\ 0 \\1 \end{bmatrix}\}