เยี่ยมมาก! แนวนี้คือ “ลดอันดับ” สมการเชิงอนุพันธ์ให้กลายเป็น ระบบสมการอันดับหนึ่ง โดยตั้งตัวแปรใหม่แทนอนุพันธ์ของ (y) ทีละชั้น แล้วเขียนเป็นเวกเตอร์ (u'=\dots)

วิธีทำ (สูตรจำสั้น ๆ)

ให้สมการลำดับ (n):
[
y^{(n)} = F\bigl(t, y, y', \ldots, y^{(n-1)}\bigr)
]
กำหนด
[
u_1=y,\quad u_2=y',\quad \ldots,\quad u_n=y^{(n-1)}
]
แล้วได้ระบบอันดับหนึ่ง
[
\begin{cases}
u_1' = u_2\
u_2' = u_3\
\ \ \vdots\
u_{n-1}' = u_n\
u_n' = F\bigl(t, u_1,\ldots,u_n\bigr)
\end{cases}
]
ถ้ามีเงื่อนไขเริ่มต้น (y(0),y'(0),\ldots,y^{(n-1)}(0)) ก็กลายเป็น (u(0)=(u_1(0),\ldots,u_n(0))) ตามลำดับ

ทำตัวอย่างที่ให้มา

Problem 1: (y''=t+y+y')

ตั้ง (u_1=y,\ u_2=y')
[
\boxed{\begin{bmatrix}u_1'\u_2'\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}u_2\ t+u_1+u_2\end{bmatrix}}
]

Problem 2: (y'''=y''+ty)

ตั้ง (u_1=y,\ u_2=y',\ u_3=y'')
[
\boxed{\begin{bmatrix}u_1'\u_2'\u_3'\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}u_2\u_3\u_3+t,u_1\end{bmatrix}}
]

โจทย์เพิ่ม (พร้อมเฉลยย่อ)

ลองทำเองก่อน แล้วเทียบเฉลยข้างล่างได้เลย

1) (y''+5y'-6y=\cos t)

ชี้แนะ: จัดรูปเป็น (y''=,-5y'+6y+\cos t)

เฉลยย่อ: (u_1=y,\ u_2=y')

[
\begin{bmatrix}u_1'\u_2'\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}u_2\ 6u_1-5u_2+\cos t\end{bmatrix}
]
หรือแบบเมทริกซ์ (u'=\underbrace{\begin{bmatrix}0&1\6&-5\end{bmatrix}}_{A}u+\begin{bmatrix}0\cos t\end{bmatrix})

2) (y'''+2y''+y'-4y=e^{t})

ชี้แนะ: จัดเป็น (y'''=,-2y''-y'+4y+e^t)

เฉลยย่อ: (u_1=y,\ u_2=y',\ u_3=y'')

[
\begin{bmatrix}u_1'\u_2'\u_3'\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
u_2\
u_3\
4u_1 - u_2 - 2u_3 + e^{t}
\end{bmatrix}
]

3) (y''=y^2 - t) (ไม่เชิงเส้น)

เฉลยย่อ: (u_1=y,\ u_2=y')

[
\begin{bmatrix}u_1'\u_2'\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}u_2\ u_1^{2}-t\end{bmatrix}
]

4) ((1+t),y''+3y'+2y=0) (สัมประสิทธิ์ขึ้นกับเวลา)

ชี้แนะ: เมื่อ (t\neq -1), (y''=\dfrac{-3y'-2y}{1+t})

เฉลยย่อ: (u_1=y,\ u_2=y')

[
\begin{bmatrix}u_1'\u_2'\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
u_2[2mm]
\dfrac{-,3u_2-2u_1}{1+t}
\end{bmatrix}
]

5) สมการลูกตุ้มหนืด: (\theta''+c,\theta'+\frac{g}{L}\sin\theta=0)

เฉลยย่อ: (u_1=\theta,\ u_2=\theta')

[
\begin{bmatrix}u_1'\u_2'\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
u_2\
-,c,u_2-\frac{g}{L}\sin u_1
\end{bmatrix}
]

6) (y'''=t,y' + \sin y)

เฉลยย่อ: (u_1=y,\ u_2=y',\ u_3=y'')

[
\begin{bmatrix}u_1'\u_2'\u_3'\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
u_2\
u_3\
t,u_2+\sin u_1
\end{bmatrix}
]

7) (y''-t^2y = e^{-t})

เฉลยย่อ: (y''=t^2y+e^{-t}), (u_1=y,\ u_2=y')

[
\begin{bmatrix}u_1'\u_2'\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
u_2\
t^2 u_1 + e^{-t}
\end{bmatrix}
]

ทริคตอนมีเงื่อนไขเริ่มต้น

ถ้าให้มาเช่น (y(0)=a,\ y'(0)=b,\ y''(0)=c)
หลังลดอันดับแล้วจะได้ (u(0)=(a,b,c)) ตรง ๆ เลย — สะดวกมากสำหรับใช้ตัวแก้เชิงตัวเลข (Euler/AB2/RK4 ฯลฯ)

อยากได้ชุด “แบบฝึกพร้อมเฉลยละเอียดทีละบรรทัด” เพิ่มอีกสัก 10 ข้อไหม เดี๋ยวจัดเป็น Markdown ให้เอาไปวาง Obsidian ได้เลย 😉