ความรู้เบื้องต้น

• Determinant เป็นค่าเฉพาะของ Square Matrix ซึ่งจะมีได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น
• Determinant เของ Matrix A เขียนแทนด้วย $\det(\ce{A})$ หรือ $|\ce{A}|$
• ถ้า $\det(\ce{A})=0$ แล้ว เรียก A ว่า Matrix เอกฐาน (Singular Matrix)
• ถ้า $\det(\ce{A})\ne0$ แล้ว เรียก A ว่า Matrix ไม่เอกฐาน (Non-singular Matrix)
• $\det$ ของ Matrix สามเหลี่ยมทุกประเภท เท่ากับ ผลคูณของสมาชิกทุกตัวใน Main Diagonal ^89b88a

ค่า $\det$ ใน Matrix มิติต่าง ๆ

$\det$ ของ Matrix 1 x 1

• $\det(\ce{A})=a$ ได้เลย

$\det$ ของ Matrix 2 x 2

$\ce{A}=\left[\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right]$

• $\det(\ce{A})=ad-bc$

$\det$ ของ Matrix 3 x 3

$\ce{A}=\left[\begin{array}{cc}a & b & c\\d & e & f \\ g&h&i\end{array}\right]$

• $\det(\ce{A})=\ce{(aei + bfg +cdh)-(gec + hfa +idb)}$
• ง่าย ๆ ก็คือ คูณลง ลบคูณขึ้นนั่นแหละนะ
• อันนี้ก็คือต่ออีกสองแถวไปอีก (จำได้มั้ยยย!!)

สมบัติของ $\det$

1. $\det\ce{A}=\det\ce{A}^t$ (Transpose Matrix แล้ว det ยังคงเท่าเดิม) ^bfa037
2. $\det(\ce{ABC})=\det\ce{A}\cdot\det\ce{B}\cdot\det\ce{C}$ (det ของผลคูณ = ผลคูณของ det)
3. $\det(\ce{A^n})=(\det\ce{A})^n$ (ดึงกำลังออกมานอก det ได้)
4. $\det(\ce{\ce{k}A})=\ce{k}^n\cdot(\det\ce{A})$ เมื่อ A มีมิติ $\ce{n\times n}$ (ค่าคงที่ดึงออกมาได้ แต่ต้องยกกำลังด้วยมิติ)
5. $\det(\ce{A}\pm\ce{B})\ne\det\ce{A}\pm\det\ce{B}$ (det แยกบวกลบไม่ได้)
6. $\det(\ce{A}^{-1})=\frac{1}{\det(\ce{A})}$
7. $\det(\ce{I})=1,\det(\underline{0})=0$
8. ถ้า Matrix มีสมาชิกแถวใดหรือหลักใดเป็นศูนย์ทุกตัว จะได้ว่า $\det$ เท่ากับ 0
   $\det\left[\begin{array}{cc}{\blacksquare} & 0 & {\blacksquare}\\{\blacksquare} & 0 & {\blacksquare} \\ {\blacksquare}&0&{\blacksquare}\end{array}\right]=\det\left[\begin{array}{cc}0 & 0 & 0\\{\blacksquare} & {\blacksquare} & {\blacksquare} \\ {\blacksquare}&{\blacksquare}&{\blacksquare}\end{array}\right]=0$ ^4eff52
9. ถ้า Matrix มีสองแถวใดหรือสองหลักใดเหมือนกัน จะได้ว่า $\det$ เท่ากับ 0
   (เกี่ยวกับเรื่อง Row Operation)
   $\det\left[\begin{array}{cc}{\blacksquare} & k & k\\{\blacksquare} & k & k \\ {\blacksquare}&k&k\end{array}\right]=\det\left[\begin{array}{cc}k & k & k\\ {\blacksquare} & {\blacksquare}&{\blacksquare} \\ k&k&k\end{array}\right]=0$ ^154539
10. ค่า $\det$ ของ Matrix สามเหลี่ยม จะเท่ากับ ผลคูณของสมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก
    $\det\left[\begin{array}{cc}1 & 0 & 0\\4 & 2 & 0 \\ 6&5&3\end{array}\right]=6$ ^ef8bb2
11. ถ้า Matrix B เกิดจาก A โดยการสลับสองแถวใดหรือสองหลักใดแล้ว $\det(\ce{B})=-\det(\ce{A})$
    สลับใส่ลบ
    $\left|\begin{array}{cc}a&b&c\\d&e& f \\ g&h&i\end{array}\right|=⊕\Delta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left|\begin{array}{cc}g&h&i\\d&e& f \\ a&b&c\end{array}\right|=⊖\Delta$ ^efacb1
12. ถ้า Matrix B เกิดจาก A โดยการคูณแถวใดแถวหนึ่งด้วย $k\in\mathbb{R}$ แล้ว $\det(\ce{B})=k\cdot\det(\ce{A})$
    ดึง(กระจาย)ทีละแถว
    \left|\begin{array}{cc}ka & kb & kc\\d & e & f \\ g&h&i\end{array}\right|=k\cdot\left|\begin{array}{cc}a & b & c\\d & e & f \\ g&h&i\end{array}\right| $$$$ \left|\begin{array}{cc}a & b & kc\\d & e & kf \\ g&h&ki\end{array}\right|=k\cdot\left|\begin{array}{cc}a & b & c\\d & e & f \\ g&h&i\end{array}\right| ^9c6fa6
13. ถ้า Matrix B เกิดจาก A โดยการคูณแถวใดแถวหนึ่งด้วย $k\in\mathbb{R}$ แล้วนำไปบวกกับอีกแถวหนึ่งหรือคูณหลักใดหลักหนึ่งด้วย $k\in\mathbb{R}$ แล้วนำไปบวกกับอีกหลักหนึ่งแล้ว $\det(\ce{B)}=\det(\ce{A})$
    $\left|\begin{array}{cc}a & b & c\\d & e & f \\ g&h&i\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a & b & c\\(d+2a) & (e+2b) & (f+2c) \\ g&h&i\end{array}\right|$ ^7b6327