ความรู้เบื้องต้นของจำนวนเชิงซ้อน

ระบบจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Number : C) ประกอบด้วย จำนวนจริง (R) และ จำนวนจินตภาพ (R’)

สัญลักษณ์และส่วนประกอบของจำนวนเชิงซ้อน

นิยมเขียนจำนวนเชิงซ้อนด้วยตัว z มีรูปทั่วไปของจำนวนเชิงซ้อนดังนี้

$\boxed{z=a+bi\text \ \\;i=\sqrt{-1}}$

เรียก $a$ ว่าเป็น “Real Part” แทนด้วย $\text{Re(z)}$

เรียก $b$ ว่าเป็น “Imaginary Part” แทนด้วย $\text{Im(z)}$

จำนวนจริงและจำนวนจินตภาพแท้

• จำนวนจริง (Real number) คือจำนวนเชิงซ้อนที่มี $\text{Im(z)}$ เป็นศูนย์
• จำนวนจินตภาพแท้ (Purely imaginary number) คือ จำนวนเชิงซ้อนที่มี $\text{Re(z)}$ เป็นศูนย์

ค่าของ $i^n$

${i^{4n}}=1$

${i^{4n+1}}=i$

${i^{4n+2}}=-1$

${i^{4n+3}}=-i$

การบวกและการคุณของชุด $i$ ที่กำลังเรียงติดกัน 4 ตัว

$i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$

$i^n\cdot i^{n+1}\cdot i^{n+2}\cdot i^{n+3}=-1$

ศัพท์สำคัญ

สังยุค (Conjugate)

• สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi$ คือ $\bar{z}=a-bi$ สัญลักษณ์ $\bar{z}$ (อ่านว่า z บาร์)

• สมบัติของสังยุค

  ควรจำ

  1. $z=\bar{\bar{z}}$
  2. $\overline{z_1\pm z_2}=\bar{z_1}\pm\bar{z_2}$
  3. $\overline{z_1\cdot{z_2}}=\bar{z_1}\cdot\bar{z_2}$
  4. $(\overline{z^{-1}})=(\bar{z})^{-1}$
  5. $\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$ ; $z_2\neq0$
  6. $z\cdot\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^ 2=|z|^2$

  เพิ่มเติม

  1. ถ้า $\bar{z}=z$ แล้ว z เป็นจำนวนจริง
  2. ถ้า $\bar{z}=-z$ แล้ว z เป็นจำนวนจินตภาพแท้

• ความสัมพันธ์ของ $z$ และ $\bar{z}$

  1. $\text{Re(z)}=\frac{1}{2}(z+\bar{z})$
  2. $\text{Im(z)}=\frac{1}{2}(z-\bar{z})$

ค่าสัมบูรณ์ของ z : |z|

• ค่าสัมบูรณ์ หริอ Magnitude ของจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi$ เขียนแทนด้วย $|z|$ หาได้จากสูตร

$\boxed{|z|=\sqrt{a^2+b^2}}$

• สมบัติของขนาด
  1. $|z|=|\bar{z}|=|-z|$
  2. $z\cdot \bar{z}=|z|^2$
  3. $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$
  4. $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$
  5. $|z^n|=|z|^n$
  6. $|z^{-1}|=\frac{1}{|z|}$
  7. $|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$
  8. $|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2+|z_2|^2$

Inverse ของ z: $z^{-1}$

ถ้า $z=a+bi$ และ $z\ne0$ แล้ว Inverse การคูณของจำนวนเชิงซ้อน เขียนแทนด้วย $z^{-1}$ มีค่าเท่ากับ $\frac{1}{z}$

$\boxed{z^{-1}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\bar{z}}{\bar{z}}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}}$

Operation ของจำนวนเชิงซ้อน

การบวก

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

การคูณ

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

การลบ

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

การหาร

$(a+bi)\div(c+di)=\frac{1}{c^2+d^2}(a+bi)(c-di)$

Polar Form (รูปเชิงขั้ว)

รูปเชิงขั้ว

• รูปเชิงขั้ว (Polar Form) เป็นการเขียนจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ Trigonometry
  • แทนที่จะเป็น $(a,b)$ ตาม Coordinate system → Polar Form จะเป็น $(r,\theta)$
• พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi$ ซึ่งแทนด้วยจุด $(a,b)$ บนระนาบเชิงซ้อน

$\boxed{z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\text{cis}\theta}$

• ในการเขียน Polar Form → ต้องรู้ 2 อย่าง
  1. r คือขนาดของ z หรือจะเรียกว่า Modulus
  2. $\theta$ คือมุมที่วัด Counterclockwise (เหมือนในเรื่อง Trigonometry)

วิธีแปลงเชิงซ้อนเป็น Polar

1. หา r จากสูตร $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
2. หา $\theta$ จาก $\tan\theta=\frac{b}{a}$ (แล้วดูเครื่องหมายของ a และ b เพื่อเลือก Quarter)

เพิ่มเติม

• ถ้า $z$ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า $\theta$ จะอยู่บนแกน x
• ถ้า $z$ เป็นจำนวนจินตภาพแท้ จะได้ว่า $\theta$ จะอยู่บนแกน y

Inverse และ Conjugate ของ Polar Form

กำหนดให้ $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ จะได้

1. Conjugate ของ z

   $\bar{z}=r[\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)]=r\text{cis}(-\theta)$

2. Inverse ของ z

   $z^{-1}=\frac{1}{r}[\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)]=\frac{1}{r}\text{cis}(-\theta)=\frac{\bar{z}}{r^2}$

Operation ของ Polar Form

1. ยกกำลัง n นำ n ไปยกกำลังขนาด และนำ n ไปคูณมุม

$z^n=|z|^n\cdot\text{cis}(n\theta)$

1. คูณกัน เอาขนาดคูณกัน มุมมาบวกกัน

$z_1z_2=r_1r_2\cdot\text{cis}(\theta_1+\theta_2)$

1. หารกัน เอาขนาดหารกัน มุมมาลบกัน

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\text{cis}(\theta_1-\theta_2)$

รากเชิงซ้อน

ควรรู้:

1. ผลรวมของรากทุกตัวมีค่า = 0
2. ขนาดของรากทุกตัวจะมีค่าเท่ากัน

วิธีการหาค่ารากที่ n ของ z

ขั้นที่ 1 หาค่า รากหลัก (Principal Root) ของ z โดยแทนค่า k = 0

${z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\cdot\text{cis}(\frac{\theta+2k\pi}{n})}$

ขั้นที่ 2 หาค่ารากที่เหลือ k = 1,2,3,...,n-1 จนครบ n ราก หรือว่าจะบวกทีละ $\frac{360\deg}{n}$

สูตรสำเร็จในการหา “รากที่สอง” ของ a+bi

กำหนดให้ $z=a+bi$ และให้ $r=\sqrt{a^2+b^2}$

จะได้รากที่ 2 ของ z คือ

$\pm\bigg(\sqrt{\frac{r+a}{2}}+\sqrt{\frac{r-a}{2}i}\bigg) ,b\ge 0$

$\pm\bigg(\sqrt{\frac{r+a}{2}}-\sqrt{\frac{r-a}{2}i}\bigg) ,b< 0$

สมการพหุนาม

หลักเบื้องต้นในการแก้สมการพหุนาม

1. จัดรูปให้ฝั่งหนึ่งเป็น 0 ก่อน

2. พยายามแยกตัวประกอบ โดยใช้ ทฤษฎีเศษเหลือ หรือ จับคู่ดึงตัวร่วม

   $(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_n)=0 \text{ แล้ว }x=r_1,r_2,...,r_n$

3. ถ้าแยกตัวประกอบไม่ได้ใช้สูตร

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

   • ถ้าคำตอบเป็นอตรรกยะ ก็จะมีคู่มาอีกตัวนึง
   • ถ้าคำตอบได้เป็นจำนวนเชิงซ้อน ก็จะมีคู่มาอีกเช่นกัน

4. ค่าที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์คือคำตอบของสมการ

   คำตอบของสมการ = รากของสมการ = ผลเฉลยของสมการ

เพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการ

1. กำหนดให้ $p(x)=0$ เป็นสมการพหุนามซึ่งสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริง พบว่า

🏆 ถ้า $z=a+bi$ เป็นคำตอบของสมการ แล้ว $\bar{z}=a-bi$ ย่อมเป็นคำตอบด้วย

2. สมการจำนวนเชิงซ้อน $a+bi$ เป็นคำตอบของสมการ คือ $x^2-2ax+a^2+b^2=0$

3. ในการสร้างสมการเมื่อรู้คำตอบของสมการ จะต้องติดค่าคงที่ไว้ข้างหน้าเสมอ ทั้งนี้โจทย์จะให้หาค่าคงที่นั้น โดยกำหนดเงื่อนไขมา

4. สมการพหุนามกำลัง n ทุกสมการ จะมีคำตอบอย่างน้อย 1 คำตอบ

5. ถ้า $p(x)$ เป็นพหุนามดีกรี n แล้ว สมการ $p(x)=0$ จะมีคำตอบทั้งหมด n คำตอบ ซ้ำกันได้