บทนิยาม (สำคัญมาก)

• นิยาม: ให้ $\ce{A, B}$ เป็น Matrix ขนาด $\ce{n}\times\ce{n}$ ซึ่ง

  $\ce{AB}=\ce{BA}=\ce{I}$

  จะเรียก $\ce{B}$ ว่า “Inverse การคูณ” ของ Matrix $\ce{A}$ เขียนแทนด้วย $\ce{A}^{-1}$

สูตรการหา Inverse

$\ce{adj}$ ของ Matrix ขนาด 2x2 (Special Formula)

$\ce{A}=\left[\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right]\to\ce{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\-c & a\end{array}\right]=\frac{1}{\det(\ce{A})}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\-c & a\end{array}\right]$

แค่สลับ, กลับเครื่องหมาย จำให้ได้!

• ย้ำอีกที! เคยเขียนแล้วใน 03 Determinants
• ถ้า $\det(\ce{A})=0$ → ไม่มี $\ce{A}^{-1}$ → เรียก $\ce{A}$ ว่า “Matrix เอกฐาน (Singular Matrix)”
• ถ้า $\det(\ce{A})\ne0$ → มี $\ce{A}^{-1}$ → เรียก $\ce{A}$ ว่า “Matrix ไม่เอกฐาน (Non-singular Matrix)”

Matrix ขนาด $\ce{n}\times\ce{n}$ โดยที่ $\ce{n}\ge3​$

$\ce{A}^{-1}=\frac{1}{|\ce{A}|}\text{adj}(\ce{A})$

โดยที่ $\text{adj(A)}$ คือ [[04 Minor, Co-factor#Adjoint (Matrix ผูกผัน) $ce{adj(A)}$|Matrix ผูกผัน]] มีค่าเท่ากับ $[\ce{C}_{ij}(\ce{A})]^t$

สมบัติ Inverse การคูณ

1. $(\ce{A}^{-1})^{-1}=\ce{A}$
2. $(\ce{AB})^{-1}=\ce{B}^{-1}\ce{A}^{-1}$
3. $(k\ce{A})^{-1}=\frac{1}{k}\ce{A}^{-1},k\in\mathbb{R}$
4. ให้ $\ce{A}$ มี Inverse การคูณ
   ถ้า $\ce{AB}=\ce{AC}$ แล้ว $\ce{B = C}$
   ถ้า $\ce{BA}=\ce{CA}$ แล้ว $\ce{B = C}$
5. $(\ce{A}^t)^{-1}=(\ce{A}^{-1})^t$
6. $(\ce{A}^n)^{-1}=(\ce{A}^{-1})^n$
7. $\det(\ce{A}^{-1})=\frac{1}{\det\ce{A}}$
8. $\det(\text{adj}(\ce{A}))=(\det\ce{A})^{n-1}$