Linear Equations and Systems

Existence of the Solution and the Determinant

แต่ถ้า $D=0$ จะเป็นอีกเคสนึง ได้ทั้ง $\infty$ Solution, หรือว่า No solution ก็ได้

เส้นเดียวกัน, same lines
วิธีการเช็ค
- Makhanov: แทน $x=0$ $x = 0$ เข้าไปทั้งสองสมการ แล้วดูว่าค่า $y$ $y$ จาก both equations ว่า contradict รึเปล่า
  - เท่า = $\infty$ Solutions
  - ไม่เท่า = No solutions
- หรือว่า the equations are identical (scalar multiples of each other) ก็ดูง่าย ๆ แค่นี้ก็ได้

We will talk about linear systems of equations in the variables $x$ , $y$ , and $z$ , and as coefficients in these equations the parameters $a$ , $b$ , or $c$ might appear.
อาจจะให้สมการมา แล้วติดตัวแปร $a$ $a$ , $b$ $b$ ที่ Coefficient แล้วถามว่า ค่าพวกนี้ต้องเป็นอะไรถึงจะทำให้สมการนี้มีคำตอบ
- ก็ง่ายเหมือนเดิม ตั้ง $\det=0$ เดี๋ยวก็ออกมาเอง

A system, of linear equations in which the right-hand side consists entirely of 0’s is said to be a homogenous system
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Always consistent system → มี Solution เสมอ
- ไม่ว่าทุก $x$ เท่ากับ 0 (Trivial solution) หรือว่า
- $\infty$ solutions (Non-trivial solution)

The length of a vector (the norm) is defined by $||\vec{u}||=\sqrt{a^2+b^2}$ $||\vec{x}||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}$

ถ้า $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j},\vec{v}=c\vec{i}+d\vec{j}$ จะได้ว่า $\vec{u}\cdot\vec{v}=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=ac+bd$
ใน Course นี้อาจเห็นการใช้สัญลักษณ์ $(\circ,\circ)$ เช่น $(x,y)$ คือ Dot product ของ $\vec{x}$ และ $\vec{y}$
ถ้า $\sqrt{\text{dot product ของตัวเอง}}$ ก็จะได้ Norm เช่น $(x,x)$
$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$ $u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ$
- อาจจะมีออกให้หา Angle ระหว่าง 2 Vectors

ถ้า Vector 2 ตั้งฉากกัน → Dot product ได้ 0 เพราะเข้าสูตรนั้น $\cos90^{\circ}$ ได้ 0