Introduction to Second-order Circuits

• A second-order circuit is characterized by a second-order differential equation.
• It consists of resistors and the equivalent of two energy storage elements.

• ถ้าเป็นวงจรแบบ (a) Series RLC circuit, (b) Parallel RLC circuit มันจะเกิดความถี่ Resonant เกิดขึ้น
  
• แต่ถ้าเป็นแบบ (c) RL circuit, (d) RC circuit ก็ถือว่าเป็น Second-order เหมือน แค่จะไม่มี ความถี่ Resonant นั่นเองงงงง

• สมการจริง ๆ ก็ยังอยู่ในรูป Natural Response + Forced Response อยู่ดี
  

Initial and Final Values

• Initial values:
  $v(0),i(0),\frac{dv(0)}{dt},\frac{di(0)}{dt}$

• Final values: $v(\infty),i(\infty)$

• 2 key points to keep in mind in determining the initial conditions

  1. Passive sign convention
     
     • The polarity of the voltage across the capacitor
     • The direction of the current through the inductor
     • กระแสไหลเข้าจะเกิดขั้วบวกเสมอ!
  2. เปลี่ยนแปลงทันทีไม่ได้!
     • The capacitor voltage is always continuous $v(0^-)=v(0^+)$
     • The inductor current is always continuous $i(0^-)=i(0^+)$

• การหา $\frac{dv(0)}{dt},\frac{di(0)}{dt}$ จะแปลก ๆ นิดนึงให้เอา $I_c=C\frac{dv_C}{dt},V_L=L\frac{di_L}{dt}$ มาช่วย (ไม่ได้แทนค่าเข้าไปตรง ๆ นะ)

  $$I_c=C\frac{dv_C}{dt} \xrightarrow{\text{Rearranging terms}}\frac{dv_C}{dt}=\frac{I_C}{C}$$ $$V_L=L\frac{di_L}{dt} \xrightarrow{\text{Rearranging terms}}\frac{di_L}{dt}=\frac{V_L}{L}$$
  • ทั้งหมดนี้จะคิดในตอนที่เป็นเวลา $0^+$ ตลอด (เวลาวาดรูปคือไม่ต้องมอง L, C under DC นะ!)
  • บางอันอาจต้องใช้ KVL มาช่วยในการหา

Source-Free RLC

Applying KVL around the loop

To eliminate the integral, we differentiate with respect to $t$ (จะกำจัดสมการที่มันมีทั้ง Diff, Int ก็ดิฟทั้งสมการไปเลย) → Second-order Differential Equation

• จริง ๆ ความหมายของสมการนี้ก็คือ เราอยากรู้ว่า $i(t)$ ต้องเป็นสมการอะไร ที่ทำให้ข้างบนนั้นอะ เป็น 0

Assume solution in an exponential form

Substituting

• ซึ่งเราต้องมองให้ $Ls^2+Rs+\frac{1}{C}=0$ มันก็คือ Quadratic equation นั่นเอง

Step Response RLC