• ถ้าเราป้อนสัญญาณที่เป็นรูป $\sin$ ในวงจร RLC มันจะเป็นยังไง!
• จริง ๆ หาเป็นแบบ Step Response ก็ได้เหมือนกัน— แต่มันยากเท่านั้นเอง เราจึงต้องใช้ Phasor
• Table of Contents
  • Introduction to Alternating Current
  • Sinusoids — $\sin,\cos$ function นะ!
  • Phasor — คล้าย ๆ Vector (มี Amplitude, Phase) แต่มี $\omega$ (ความเร็วในการหมุน) มาด้วย
  • Impedance (z) and Admittance (y)

Introduction to Alternating Current

• A sinusoid is a signal has the form of the $\sin$ or $\cos$ function.
  • A sinusoidal current is usually referred to as alternating current (AC)
  • Circuits driven by sinusoidal current or voltage sources are called AC Circuits

Why is an interested sinusoidal? Why is AC sinusoidal?

1. Sinusoidal variations in the motion of a pendulum, the vibration of a string, the ripples on the ocean surface, and the natural response of underdamped second-order systems.
2. A sinusoidal signal is easy to generate and transmit.
3. Through Fourier analysis, any practical periodic signal can be represented by a sum of sinusoids
4. The derivative and integral of a sinusoid are themselves sinusoids.

Sinusoids

• $V_m$ = the amplitude of the sinusoid
• $\omega$ = the angular frequency in radians/s
• $\omega t$ = the argument of the sinusoid
  

• $v_1(t)=V_m\sin\omega t$

• $v_2(t)=V_m\sin(\omega t+\phi)$

• แล้วเราจะเรียกสองรูปนี้ยังไงดี?!

  • $v_2$ leads $v_1$ by $\phi$
  • $v_1$ lags $v_2$ by $\phi$

• $\phi=0$, in phase ก็คือต้องเกิดจุดเดียวกัน Frequency เท่ากัน แต่ Amplitude ต่างกันได้นะ

• $\phi \ne0$, out-of-phase

Sine or Cosine Form

Phasor

A phasor is a complex number that represents the amplitude and phase of a sinusoid.

• Sinusoids are easily expressed in terms of phasors.
• Phasors provide a simple means of analyzing linear circuits excited by sinusoidal sources.

• ส่วน $\omega$ จะเก็บไว้ในใจ ไม่ไปไหนนะ
• แล้วตามนิยาม ฝั่งซ้ายจะต้องเป็น $\cos$ เท่าน้านนน!

• สรุปคือ Phasor ใช้ในการวิเคราะห์เมื่อแหล่งจ่ายมันเป็น Sinusoidal source!

Complex Number ($z$)

• The complex number $z$ can also be written in rectangular, polar or exponential form as
  • Rectangular form → $z=x+jy$
  • Polar form → $z=r\angle\phi$
  • Exponential form → $z=re^{j\phi}$
• โดยมี Identity เหล่านี้มาช่วย! $$z=x+jy=r\angle\phi=r(\cos\phi+j\sin\phi)$$ $$\Huge{e^{\pm j\phi}=\cos\phi\pm j\sin\phi}$$

Relationship between the rectangular form and the polar form

• From Rectangular to Polar

• From Polar to Rectangular $$x=r\cos\phi$$ $$y= r\sin\phi$$

Algebraic Operations on Complex Numbers

• Subtraction: $$z_1-z_2=(x_1-x_2)+j(y_1-y_2)$$
• Multiplication: $$z_1z_2=r_1r_2\angle\phi_1+\phi_2$$
• Division: $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\angle\phi_1-\phi_2$$
• Reciprocal: $$\frac{1}{z}=\frac{1}{r}\angle-\phi$$
• Square root: $$\sqrt{z}=\sqrt{r}\angle\frac{\phi}{2}$$
• Complex conjugate: $$z^*=x-jy=r\angle-\phi=re^{-j\phi}$$

แบบนี้คือให้ดูที่มันง่ายสุด ถ้าจะคูณกัน จะทำในรูปแบบ Rectangular ก็ได้ แต่ถ้าแปลงเป็น Polar ก่อน ก็จะง่ายมากก!!

Phasor vs Vector

• Mind that a vector is rotating with some frequency, that is why it is Phasor, Normal Vector do not rotate.
• Phasors are generally rotational representation of sinusoidally varying quantities
• Phasors differ from vectors in that the angular relationship between phasors represents their phase or timing relationships within a cycle, which under steady state conditions are invariant. Unlike vectors, the angles of a phasors don’t represent physical directions and have no physical meaning.
  (ไม่น่าถูกเช็คด้วย)

Phasor Relationships for Circuit Elements

1. แปลงแหล่งจ่ายให้เป็น Phasor ก่อน
2. ทำอุปกรณ์เหล่านี้ให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์ Phasor ด้วย

• อันนี้ขวามือ (Frequency domain) เค้าเขียนอยู่ในรูป $\mathbf{V}=IR$ ทั่วไปแล้ว แต่ถ้าอยากรู้ว่า $R$ (Impedance) มันคืออะไรกันแน่ ก็ลองเอา $I$ ไปหารดู
  • Impedance = ความต้านท้านในรูปของ AC

Note that, จะประพฤติตัวตาม Frequency domain ก็ต่อเมื่อ Source เป็น AC (sine function นะ)

Impedance (z) and Admittance (y)

• $\mathbf{Z}$ is a frequency-dependent quantity known as impedance, measured in ohms.
• The impedance $\mathbf{Z}$ of a circuit is the ratio of the phasor voltage $\mathbf{V}$ to the phasor current $\mathbf{I}$, measure in ohms ($\ohm$).

Kirchhoff’s Laws in the Frequency Domain

• Kirchhoff’s laws are also applicable for circuit analysis in frequency domain.
• For KVL, voltages around a closed loop can be expressed as follows. $$\mathbf{V}_1+\mathbf{V}_2+\dotso+\mathbf{V}_n=0$$
• For KCL, the current entering or leaving a closed surface in a network are as follows. $$\mathbf{I}_1+\mathbf{I}_2+\dotso+\mathbf{I}_n=0$$

แม้ว่าจะอยู่ในรูปของ Impedance ใน AC ยังไงกฎ KVL, KCL ก็ยังใช้ได้อยู่เหมือนเดิมนะ ไม่มีอะไรมาก!

Impedance Combinations

Impedance in Series

• Consider the $N$ series-connected impedances. The equivalent impedance at the input terminal is
  $$\mathbf{Z_{eq}}=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=\mathbf{Z_1}+\mathbf{Z_2}+\dotso+\mathbf{Z_N}$$
• If $N=2$, the current through the impedance is $$\mathbf{I}=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z_1}+\mathbf{Z_2}}$$ since $\mathbf{V_1}=\mathbf{Z_1I}$ and $\mathbf{V_2}=\mathbf{Z_2I}$
  • ก็คือหา $\mathbf{I}$ ได้ง่าย ๆ เหมือนเดิมนั่นแหละ
• The voltage-division relationship is as follows
  $$\mathbf{V_1}=\frac{\mathbf{Z_1}}{\mathbf{Z_1}+\mathbf{Z_2}}\mathbf{V}$$ $$\mathbf{V_2}=\frac{\mathbf{Z_2}}{\mathbf{Z_1}+\mathbf{Z_2}}\mathbf{V}$$

จริง ๆ จะหา $\mathbf{I}$ ก่อนก็ได้ แล้วก็หา $\mathbf{V}$ แบบที่ทำประจำ แต่มันเป็น Complex Number ไง ก็เลยยากหน่อย ดังนั้นก็หัดใช้ Voltage-divider บ้างนะ! 55555 Love

Impedance in Parallel

• Consider the $N$ parallel-connected impedances. The equivalent impedance at the input terminal is
  $$\frac{1}{\mathbf{Z_{eq}}}=\frac{\mathbf{I}}{\mathbf{V}}=\frac{1}{\mathbf{Z_1}}+\frac{1}{\mathbf{Z_2}}+\dotso+\frac{1}{\mathbf{Z_N}}$$
• The equivalent admittance is $$\mathbf{Y_{eq}}=\mathbf{Y_1}+\mathbf{Y_2}+\dotso+\mathbf{Y_N}$$
• If $N=2$, the current-division relationship is as follows
  $$\mathbf{I_1}=\frac{\mathbf{Z_2}}{\mathbf{Z_1}+\mathbf{Z_2}}\mathbf{I}$$ $$\mathbf{I_2}=\frac{\mathbf{Z_1}}{\mathbf{Z_1}+\mathbf{Z_2}}\mathbf{I}$$

The Delta-to-Wye and Wye-to-Delta Transformations

จริง ๆ Treat $\mathbf{Z}$ เหมือน R ตัวนึงอยู่แล้ว จริง ๆ สูตรก็เหมือนกันเลยนะ! A2 Basic Laws

Delta-to-Wye

เราใช้วิธีการ “หนีบ” เอานะ!

Wye-to-Delta

ก็แค่เหมือนทำตรงข้ามกัน (เอามาส่วนด้วย “ด้านตรงข้าม” เลย)

Balanced Delta or Wye Circuit

• A delta or wye circuit is said to be balanced if it has equal impedance in all three branches.
• When a $\Delta-Y$ circuit is balanced, we obtain $$\mathbf{Z_\Delta}=3\mathbf{Z_Y}$$ $$\mathbf{Z_Y}=\mathbf{Z_1}=\mathbf{Z_2}=\mathbf{Z_3}$$ $$\mathbf{Z_\Delta}=\mathbf{Z_a}=\mathbf{Z_b}=\mathbf{Z_c}$$