notes.npwitknpwitk.com ↗

Lecture 9 - Basis, Dimension, Fundamental Matrix Spaces

Updated 4 Oct 2026

Basis and Dimension

  • ให้ v1⃗,v2⃗,… ,vp⃗∈V\vec{v_1},\vec{v_2},\dotso,\vec{v_p}\in V (อยู่ใน Vector Space) แล้วดึงออกมาพิจารณา แล้ว v1⃗,v2⃗,… ,vp⃗\vec{v_1},\vec{v_2},\dotso,\vec{v_p} ดัน Linearly Independent ต่อกัน จะสามารถเรียก v1⃗,v2⃗,… ,vp⃗\vec{v_1},\vec{v_2},\dotso,\vec{v_p} ว่า Basis ได้! หรือมองว่า==ต้องเช็ค==
    1. v1⃗,v2⃗,… ,vp⃗\vec{v_1},\vec{v_2},\dotso,\vec{v_p} ต้อง Linearly Independent ต่อกัน
    2. v1⃗,v2⃗,… ,vp⃗\vec{v_1},\vec{v_2},\dotso,\vec{v_p} Span ใน VV
      • ต้องเขียนในรูป Linear Combination ได้ + หาค่าคงที่ c1,c2,…c_1,c_2,\dotso ได้

Dimension

  • Dimension ของ Subspace, Vector Space → จำนวน Basis ที่ก่อให้เกิด Subspace นั้น ๆ
    • Ex. H=span{a1⃗,a2⃗}H = \text{span}\{\vec{a_1},\vec{a_2}\}
    • a1⃗,a2⃗\vec{a_1},\vec{a_2} ก็ต้อง Linearly Dependent ด้วยนะ เพราะเป็น Basis ไง!
    • ดังนั้น dim⁡H=2\dim H = 2

Standard Basis

R2, the standard basis are [10],[01]\mathbb{R}^2, \text{ the standard basis are } \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} R3, the standard basis are [100],[010],[001]\mathbb{R}^3, \text{ the standard basis are } \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} Rn, the standard basis are [100⋮],[010⋮],… ,[00⋮1]n×1\mathbb{R}^n, \text{ the standard basis are } \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{bmatrix}, \dotso,\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}_{n\times 1}

Kernel (Null Space), Row Space, Column Space (Range) of a Matrix

Null Space

  • ย้อนกลับไปเรื่อง Homogenous System
    • Ax⃗=0⃗A\vec{x}=\vec{0} เนี่ย มีคำตอบที่เป็นไปได้ 2 อย่างคือ
      1. Trivial Solution
      2. Non-Trivial Solution (ที่เกิดตอนที่สมการมี Free Variable เนี่ยนะ)
        สมมติว่ารวมคำตอบ (1) กับ (2) ด้วยกันเป็น ★ เราจะเรียก {★}\{★\} ว่า Null Space
  • Null Space ของ AA คือ Set ที่รวมทุก Vector โดยที่ Ax⃗=0⃗A\vec{x}=\vec{0} (รวมทุกคำตอบของระบบ Homo) โดยจะเขียนแทนได้ว่า nul(A)\text{nul}(A) หรือว่า ker⁡(A)\ker(A)
ker⁡(A)={x⃗∈Rn;Ax⃗=0⃗}\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n;A\vec{x}=\vec{0}\}

Nullity

  • Nullity = Dimension (จำนวน Vector) ของ ker⁡(A)\ker(A)
  • หรือจะมองว่าเป็นจำนวน Free Variable ของ ker⁡(A)\ker(A) ก็ได้ ก็ใช่หนิ ลองดูตัวอย่างข้างล่าง สุดท้ายก็ออกมาเป็นจำนวน Free Variable

Example:

ถามว่า u⃗\vec{u} อยู่ใน Null Space AA มั้ย

  • Given:
    u⃗=[53−2],A=[1−3−2−591]\vec{u}=\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -5 & 9 & 1\end{bmatrix}
  • จัดการโดยการเอามาคูณกัน Definition มันคือ Set ที่รวบรวมทุกคำตอบของระบบ Homogenous แล้วคำตอบของ Homogenous เป็น 0⃗\vec{0}
    Au⃗=[1−3−2−591][53−2]=[00]A\vec{u} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -5 & 9 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
  • ดังนั้น ถูกต้องงงงง! อยู่ใน Null Space AA

หา Null Space ของ Matrix AA

  • Given: A=[1−3−2−591]A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -5 & 9 & 1 \end{bmatrix} แล้วถามว่า Null Space ของ A (ker⁡(A)\ker(A)) คืออะไร?

  • ย้อนกลับไป Definition มันคือ Set ที่รวบรวมทุกคำตอบของระบบ Homogenous

[1−3−2∣0−591∣0]→GJE[105/2∣0013/2∣0]\begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 & | & 0 \\ -5 & 9 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{GJE}} \begin{bmatrix}1 & 0 & 5/2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 3/2 & | & 0 \end{bmatrix}
  • We get the system of equations (สังเกตว่าไม่มี pivot column สุดท้าย แปลว่ามี Free Variable แน่ ๆ)
  • แปลว่า ระบบ Homogenous มีคำตอบ Non-trivial แน่นอน!
x1+52x3=0→x1=−52x3x2+32x3=0→x2=−32x3\begin{align*} x_1 + \frac{5}{2}x_3 &= 0 \quad \rightarrow \quad x_1 = -\frac{5}{2}x_3 \\ x_2 + \frac{3}{2}x_3 &= 0 \quad \rightarrow \quad x_2 = -\frac{3}{2}x_3 \end{align*}
  • ดังนั้นเขียนตอบได้ว่า
     ker⁡(A)={x⃗=c[−52−321]:c∈R} \ker(A) = \left\{\vec{x} = c\begin{bmatrix} -\frac{5}{2} \\ -\frac{3}{2} \\ 1 \end{bmatrix} : c \in\mathbb{R}\right\}
  • Basis ของ ker⁡(A)\ker(A) จะเขียนได้ว่า (แต่เดี๋ยวไปพูดอีกทีข้างล่างนะ อันนี้เขียนให้ดูเฉย ๆ!)
    ker⁡(A)=span{[−52−321]}\ker(A) = \text{span}\left\{\begin{bmatrix} -\frac{5}{2} \\ -\frac{3}{2} \\ 1 \end{bmatrix}\right\}

Column Space

ลองเช็คว่าการหา Column Space ต้องแปลง Column ให้เป็น Row ก่อนเท่านั้นรึเปล่า!

  • สมมติว่ามี Matrix AA โดยให้แต่ละ Column เป็น Vector a⃗\vec{a}
    • แปลว่า a⃗i∈Rm\vec{a}_i \in \mathbb{R}^m ถูกป้ะ แต่ละตัวจะอยู่ใน Rm\mathbb{R}^m เพราะมี mm แถวไง!
  • Column Space ของ AA เขียนแทนด้วย Col(A)\text{Col}(A)
    • Col(A)=span{a1⃗,a2⃗,… ,an⃗}\text{Col}(A) = \text{span}\{\vec{a_1},\vec{a_2},\dotso,\vec{a_n}\} (ย้ำอีกครั้ง— Span คือ Set ของทุก Linear Comb. ที่เป็นไปได้)
    • Col(A)={x⃗∣x⃗=c1a1⃗+c2a2⃗+…+cnan⃗}\text{Col}(A) = \{\vec{x}|\vec{x}=c_1\vec{a_1}+c_2\vec{a_2}+\dotso+c_n\vec{a_n}\}

Row Space

  • คล้าย ๆ กับ Column Space เลย แต่ครั้งนี้จะมองเป็น Row แทน
  • แต่ละ Row ของ Matrix AA เป็น Vector r⃗\vec{r}
  • Row Space ของ AA เขียนแทนด้วย Row(A)\text{Row}(A)
    • Row(A)=span{r1⃗,r2⃗,… ,rn⃗}\text{Row}(A) = \text{span}\{\vec{r_1},\vec{r_2},\dotso,\vec{r_n}\}
    • Row(A)={x⃗∣x⃗=c1r1⃗+c2r2⃗+…+cnrn⃗}\text{Row}(A) = \{\vec{x}|\vec{x}=c_1\vec{r_1}+c_2\vec{r_2}+\dotso+c_n\vec{r_n}\}

Basis สำหรับ Null Space

  • อนาคตก็จะมีถามว่า Basis ของ Null(A)\text{Null}(A) (ker⁡(A)\ker(A)), Col(A)\text{Col}(A), Row(A)\text{Row}(A) คืออะไร!?
[1234∣0−2102∣0]→GJE[103/50∣0016/52∣0]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & | & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 2 & | & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{GJE}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3/5 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 6/5 & 2 & | & 0 \end{bmatrix}
  • เห็นชัด ๆ ว่า x1,x2x_1,x_2 เป็น Basic Variables และ x3,x4x_3,x_4 เป็น Free Variables ได้ว่า
x_1 + \frac{3}{5}x_3 &= 0 \quad \rightarrow \quad x_1 = -\frac{3}{5}x_3 \\ x_2 + \frac{6}{5}x_3+2x_4 &= 0 \quad \rightarrow \quad x_2 = -\frac{6}{5}x_3-2x_4 \end{align*}$$ - ถ้าหา $\ker(A)$ เฉย ๆ จะได้ว่า $$ \ker(A) = \left\{\vec{x} = c_1\begin{bmatrix} -\frac{3}{5} \\ -\frac{6}{5} \\ 1 \\0 \end{bmatrix} +c_2\begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} : c_1,c_2 \in\mathbb{R}\right\}$$ - แต่พอครั้งนี้หา Basis ของ $\ker(A)$ คืออออ $$\ker(A) = \text{span}\left\{\begin{bmatrix} -\frac{3}{5} \\ -\frac{6}{5} \\ 1 \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}$$ - **==จะสัมพันธ์กับจำนวน Free Variable==** ดูที่ Free Variable นะะะะ!!!!!! - If $\ker(A)\ne\{0\}$, the the number of vectors in the spanning set for $\ker(A)$ equals the number of free variables in $A\vec{x} = \vec{0}$. # Basis สำหรับ Row Space, Column Space

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & | & 0 \
-2 & 1 & 0 & 2 & | & 0
\end{bmatrix} \xrightarrow{\text{GE (to Echelon)}}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & | & 0 \
0 & 1 & 6/5 & 2 & | & 0
\end{bmatrix}

- ย้ำว่าทำถึงแค่ Echelon Form เฉย ๆ ก็พอ (จริง ๆ ทำสุดก็ได้นะ แต่ทุกอย่างก็กลายเป้น Standard Basic หมดสิ) - Basis ของ $\text{Col}(A)$ **— Pivot Column ใน Echelon Form นั่นเอง** $$\text{Col}(A) = \text{span}\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}$$ - Basis ของ $\text{Row}(A)$ **— Non-zero Row ใน Echelon Form** $$\text{Row}(A) = \text{span}\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\3\\4 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\\frac{6}{5}\\2 \end{bmatrix}\right\}$$ - คิดว่าของ Makhanov เวลาถามถึง Row Space, Column Space, Null Space (Fundamental Spaces) ก็หมายถึงอันนี้เลยนะ หาแบบนี้ไปเลย แต่อาจจะไม่ต้องตอบให้อยู่ในรูปของ span - บางครั้งถ้ามันไม่มี Null Space ก็ไม่ต้องหานะ ก็หาแค่ Row/Column Space ก็พอ ___ # Rank - ส่วน Rank ให้มองเป็น==จำนวน Leading Variables นะ== ![[JPEG image-4581-8676-97-0.jpeg]] ___ # Basis on Lines and Planes - Line กับ Plane ต้องผ่าน Origin $(0,0)$ นะ เพราะตามหลักของ Vector Space ต้องมี 0 ด้วย ## Lines ($\mathbb{R}^2$) - ถ้ามีสมการเส้นตรง Parametric เป็น

\begin{aligned}
x=\alpha t \
y=\beta t
\end{aligned}

- จะได้ Basis เป็น $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}$ หรือจะเป็น multiple of $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}$ ก็ได้นะ ## Lines ($\mathbb{R}^3$) - Lines through origin $\mathbb{R}^3$ are represented by **intersection of two planes** given by $$ \begin{aligned}A_1x+B_1y+C_1z=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z=0 \end{aligned} $$ In this case a basis on the line is a basis of the corresponding H-system. - ถ้าสุดท้ายมี Free Variable นั่นก็ด้วย ที่เป็น Basis - ทำ GJE ให้สุด - Lines given in a **parametric form** $$ \begin{aligned} x=\alpha t \\ y=\beta t \\ z=\gamma t \end{aligned} $$ In this case the basis = $\{\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix}\}$ ## Planes ($\mathbb{R}^3$) - Planes through the origin in $\mathbb{R}^3$ are given by $Ax+By+Cz=0$ - In this case a basis on the plane is a basis of the corresponding H-system.

z+6y = 0

z=-6y

\begin{bmatrix}
x \ y \ -6y
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 \ 1 \ -6
\end{bmatrix} y +
\begin{bmatrix}
1 \ 0 \ 0
\end{bmatrix} x

Basis คือ $\{\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -6 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\}$ (แล้วจะไป Normalize Vector ต่อเลยก็ได้นะ)

Linked from