notes.npwitknpwitk.com ↗

02 Operations with Matrices

Updated 4 Oct 2026

การบวก ลบ คูณ Matrix

การบวก ลบ Matrix

  1. ขนาด (มิติ) ต้องเท่ากัน
  2. บวก/ลบ สมาชิกในตำแหน่งเดียวกัน

สมบัติสำคัญ

  1. สมบัติปิดการบวก
  2. \ceA+B=\ceB+A\ce{A + B}=\ce{B + A} (สมบัติการสลับที่)
  3. \ce(A+B)+C=\ceA+(B+C)\ce{(A + B) + C}=\ce{A + (B + C)} (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม)
  4. \ceA+0‾=0‾+\ceA=\ceA\ce{A}+\underline0=\underline0+\ce{A}=\ce{A} $ (Identity การบวก คือ \underline0)
  5. \ceA+(−\ceA)=0‾\ce{A}+(-\ce{A})=\underline0 (Inverse การบวกของ A คือ -A)
  6. (\ceA±B)t=\ceAt±\ceBt(\ce{A\pm B})^t=\ce{A}^t\pm\ce{B}^t (กระจาย Transpose ได้)

การคูณ Matrix ด้วย Scalar

  • คูณทุกตำแหน่ง
    • เหมือนการคูณกระจายตัวเลขเข้าไปในวงเล็บ โดยการนำตัวเลขคูณทุกสมาชิก

สมบัติสำคัญ

  1. \cek1(k2A)=\cek2(k1A)=\ce(k1k2)A\ce{k1(k2A)}=\ce{k2(k1A)}=\ce{(k1k2)A} (เปลี่ยนตำแหน่งการคูณของค่าคงที่หน้า Matrix)
  2. \cek(A±B)=\ce\cekA±\cekB\ce{k(A\pm B)}=\ce{\ce{k}A\pm \ce{k}B} (สมบัติการกระจาย)

การคูณ Matrix ด้วย Matrix

\ceA\cem×n×\ceB\cen×p=\ceC\cem×p\ce{A}_\ce{m\times n}\times\ce{B}_\ce{n\times p}=\ce{C}_\ce{m\times p}
  • ผลลัพธ์จะออกมาเป็นมิติ \cem×\cep\ce{m}\times\ce{p} (นอก)
  • (ใน) ต้องเหมือนกัน จึงจะคูณกันได้

สมบัติสำคัญ

  1. โดยทั่วไป \ceAB≠\ceBA\ce{AB}\ne\ce{BA} (การคูณของ Matrix ไม่มีสมบัติของการสลับที่)
  2. (\ceAB)(\ceC)=\ceA(\ceBC)(\ce{AB})(\ce{C})=\ce{A}(\ce{BC}) (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ)
  3. \ceA(\ceB+C)=\ceAB+\ceAC\ce{A}(\ce{B + C})=\ce{AB}+\ce{AC} (กระจายเข้ามาคูณได้) — สังเกตว่าตำแหน่งมีความสำคัญ
  4. \ceA+B(\ceC)=\ceAC+\ceBC\ce{A + B}(\ce{C})=\ce{AC}+\ce{BC} (กระจายเข้ามาคูณได้) — สังเกตว่าตำแหน่งมีความสำคัญ
  5. (\ceAB)t=\ceBt\ceAt(\ce{AB})^t=\ce{B}^t\ce{A}^t (กระจาย Transpose ได้ แต่ต้องสลับตำแหน่ง)
  6. \ceAI=\ceIA=\ceA\ce{AI}=\ce{IA}=\ce{A} (\ceI\ce{I} คือ Identity ของการคูณ: ได้ตัวเดิม)
  7. (\ceA+B)2=\ceA2+AB+BA+B2(\ce{A + B})^2=\ce{A^2 + AB + BA + B^2}
  8. (\ceA+B)(\ceA−B)=\ceA2−AB+BA−B2(\ce{A + B})(\ce{A - B})=\ce{A^2 - AB + BA - B^2}
  9. ถ้า \ceAB=0‾\ce{AB}=\underline{0} แล้ว ไม่สามารถ สรุปได้ว่า \ceA=0‾\ce{A}=\underline{0}** หรือ \ceB=0‾\ce{B}=\underline{0}
  10. ถ้า \ceAB=AC\ce{AB = AC} แล้ว ไม่สามารถ สรุปได้ว่า \ceB=C\ce{B = C}

ผลลัพธ์การคูณ Matrix ที่น่าสนใจ

[a000 b000c][x000y000z]=[ax000by000cz]\left[\begin{array}{lll}\mathrm{a} & 0 & 0 \\0 & \mathrm{~b} & 0 \\0 & 0 & \mathrm{c}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & 0 & 0 \\0 & \mathrm{y} & 0 \\0 & 0 & \mathrm{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{ax} & 0 & 0 \\0 & \mathrm{by} & 0 \\0 & 0 & \mathrm{cz}\end{array}\right]

[a000 b000c]n=[an000 bn000cn]\left[\begin{array}{lll}\mathrm{a} & 0 & 0 \\0 & \mathrm{~b} & 0 \\0 & 0 & \mathrm{c}\end{array}\right]^{\mathrm{n}}=\left[\begin{array}{lll}\mathrm{a}^{\mathrm{n}} & 0 & 0 \\0 & \mathrm{~b}^{\mathrm{n}} & 0 \\0 & 0 & \mathrm{c}^{\mathrm{n}}\end{array}\right]

[cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ]\cen=[cos⁡\cenθsin⁡\cenθ−sin⁡\cenθcos⁡\cenθ]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\-\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]^\ce{n}=\left[\begin{array}{cc}\cos \ce{n} \theta & \sin \ce{n} \theta \\-\sin \ce{n} \theta & \cos \ce{n} \theta\end{array}\right]

[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\cen=[cos⁡\cenθ−sin⁡\cenθsin⁡\cenθcos⁡\cenθ]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]^\ce{n}=\left[\begin{array}{cc}\cos \ce{n} \theta & -\sin \ce{n} \theta \\\sin \ce{n} \theta & \cos \ce{n} \theta\end{array}\right]

Matrix Transpose (Matrix สับเปลี่ยน)

^95f054

  • Matrix Transpose (\ceAt\ce{A}^t) คือ Matrix ที่ได้จากการสลับแถวเป็นหลัก สลับหลักเป็นแถว
\ceA=[2−16−540]\ce{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 6 \\-5 & 4 & 0\end{array}\right]

\ceAt=[2−5−1460]\ce{A}^t=\left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\-1 & 4 \\6 & 0\end{array}\right]

สมบัติของ Transpose

  1. (\ceAt)t=\ceA(\ce{A}^t)^t=\ce{A}
  2. (\cecA)t=\cecAt(\ce{cA})^t=\ce{cA^t} เมื่อ cc เป็นค่าคงที่
  3. (−\ceA)t=−\ceAt(-\ce{A})^t=-\ce{A}^t
  4. (\ceA±\ceB)t=\ceAt±\ceBt(\ce{A}\pm \ce{B})^t=\ce{A}^t\pm \ce{B}^t
  5. (\ceAB)t=\ceBt\ceAt(\ce{AB})^t=\ce{B}^t\ce{A}^t
    (\ceABC)t=\ceCt\ceBt\ceAt(\ce{ABC})^t=\ce{C}^t\ce{B}^t\ce{A}^t
  6. ถ้า \ceA\ce{A} เป็น Matrix สมมาตร แล้ว \ceAt=\ceA\ce{A}^t=\ce{A}
  7. ถ้า \ceA\ce{A} เป็น Matrix เสมือนสมมาตร แล้ว \ceAt=−\ceA\ce{A}^t=-\ce{A}
  8. (\ceAt)n=(\ceAn)t(\ce{A}^t)^n=(\ce{A}^n)^t

Linked from